domingo, 23 de mayo de 2010

Aportaciones: Lagrange, Cauchy, Leibniz



Lagrange


Lagrange desproveyó al estudio de las derivadas de cualquier cosa que hablara de fluxiones, cantidades infinitamente pequeñas o infinitésimos. Suyo es el término “derivada” y la notación x’ que utilizamos actualmente para designar la derivada de una función. También fueron importantes sus aportaciones a la Teoría de Números y la resolución de ecuaciones algebraicas, que sentarían las bases para la futura teoría de grupos.

Notaciones de Lagrange y´ o f´(x)

Son de la forma y = x f(y') + g(y') donde f(y') no puede ser igual y'.
Se resuelven derivando y llamando y' = p con lo que obtenemos
p = f(p) + [x f'(p) + g'(p)]p' esta ecuación es lineal y se integra tomando x como función de p.
Ecuación de Lagrange:
y + xϕ (y')+ ψ (y’)=0.


Cauchy



En 1811, Cauchy resolvió el problema de Poinsot, generalización del teorema de Euler sobre los poliedros. Un año más tarde, publicaría una memoria sobre el cálculo de las funciones simétricas y el número de valores que una función puede adquirir cuando se permutan de todas las maneras posibles las cantidades que encierra. En 1814, apareció su memoria fundamental sobre las integrales definidas y luego abordando el teorema de Fermat sobre los números poligonales, llegó a demostrarlo, cosa que no pudieron Euler, Legendre, Lagrange, ni Gauss. Uno de los mayores triunfos lo obtuvo dando vigor a las demostraciones de Lagrange, ateniéndose al cálculo de ceros e infinitos y fijando las convergencias de las series del análisis. Algunas de sus obras relacionadas con el cálculo son el Traité de calcul diferentiel et integral (Tratado del cálculo diferencial e integral), Leçons sur la aplication du calcul infinitesimal á la géometrie (Lecciones sobre la aplicación del cálculo infinitesimal a la geometría), Sur les integrales definies prises entre des limites imaginaires (Sobre las integrales definidas tomadas entre límites imaginarios), Sur la aplication du calcul des residus á la solution des problèmes des Physique matématique (Sobre la aplicación del cálculo a la resolución de problemas físico-matemáticos), y Sur un nouveau calcul des limites (Sobre un nuevo cálculo de límites). No dejó de ser productivo intelectualmente ni al final de su vida, pues días antes de su muerte leyó en el Instituto una memoria sobre el empleo de un artificio de cálculo llamado coeficiente regulador.
Notacion de Cauchy: Dxy o Dxf(x)


Leibniz


En la historia del cálculo se encuentra la controversia de quién fue el inventor del cálculo, si Newton o Leibniz, algunos le dan la primicia a Newton y otros a Leibniz, pero se generaliza que Newton tuvo primero las ideas y que Leibniz las descubrió igualmente algunos años más tarde. Pero sin duda Leibniz merece igual crédito que Newton, por lo tanto sus aportaciones al cálculo fueron sobresalientes. Leibniz estableció la resolución de los problemas para los máximos y los mínimos, así como de las tangentes, esto dentro del cálculo diferencial; dentro del cálculo integral logró la resolución del problema para hallar la curva cuya subtangente es constante. Expuso los principios del cálculo infinitesimal, resolviendo el problema de la isócrona (ver biografía de Bernoulli) y de algunas otras aplicaciones mecánicas, utilizando ecuaciones diferenciales.

No cabe duda que su mayor aportación fue el nombre de cálculo diferencial e integral, así como la invención de símbolos matemáticos para la mejor explicación del cálculo, como el signo = (igual), así como su notación para las derivadas dx/dy, y su notación para las integrales


Notacion de Libniz: dy/dx o df(x)/dx

Puntos Maximos y Minimos


Los puntos críticos permiten determinar los valores máximos o valores mínimos que alcanza la función. El punto critico que se encuentra en el intervalo de una concavidad que abre hacia abajo permite determinar el valor máximo que alcanza la función y el que se encuentra en una concavidad que abre hacia arriba, al mínimo que alcanza la función.
Estos puntos también son llamados puntos locales o relativos puesto que solo son valores extremos para un intervalo dado, de tal manera que se habla de un máximo local o máximo relativo y de un mínimo local y un mínimo relativo.
Ejemplo:


Recta Normal


La recta normal a una curva en un punto de tangencia dado, es una recta perpendicular a la tangente en dicho punto

Para determinar la ecuación de la recta normal a una curva de una función f(x) en un punto p(x y) se procede de manera similar a la linea tangente, solo que para determinar la pendiente se utiliza m= -1/f´(x)

Pasos a seguir para determinar la ecuación de la recta normal:


1º. Definir las coordenadas del punto de tangencia en el valor x dado
2º. Calcular la pendiente empleando m= 1 / f(x)
3º. Determinar la ecuación de la recta normal utilizando la forma punto-pendiente
y-y1=m (x-x1)

Ejemplo:



















sábado, 22 de mayo de 2010

Recta Tangente

Si una función es derivable en un punto p(x y), entonces la gráfica de la función tiene una tangente en dicho punto, cuya pendiente es
m= f´(x)

Para determinar la ecuación de una linea recta, conocida la pendiente y un punto de la misma, se emplea la forma punto pendiente:
y-y1 = m (x-x1)


Para determinar la ecuación de la linea tangente a una curva de una función f(x) en un punto de tangencia p(x y), se sugiere seguir los siguientes pasos:


Definir las coordenadas del punto de tangencia en el valor x dado
Calcular la pendiente empleando la derivada, ya que m= f´(x)
Determinar la ecuación de la tangente utilizando la forma punto pendiente y-y1 = m(x-x1)


Ejemplo:


viernes, 21 de mayo de 2010

Reglas basicas de la derivada

Regla 1. Para una constante "a"
Si f(x)= a, su derivada es f '(x)= 0
Ejemplo: Si f(x)= 15 , su derivada es f '(x)= 0

Regla 2. Para la función identidad f(x)= x
Si f(x)= x, su derivada es f ' (x)= 1
Ejemplo: f(x)= x , su derivada es f '(x)= 1

Regla 3. Para una constante "a" por una variable x
Si f (x)=ax , su derivada es f '(x)= a
Ejemplo: si f (x)= 12x, su derivada es f '(x)= 12


Regla 4. Para una variable "x" elevada a una potencia "n"

Si f(x)= x , su derivada es f´(x)=nx

3 2
Ejemplo: f(x)= x, su derivada es f´(x)= 3x


Regla 5. Para una constante "a" por una variable "x" elevada a una potencia "n"
n n-1
Si f(x)= ax , su derivada es f´(x)= anx
2
Ejemplo: f(x)= 4x, su derivada es f´(x)= 8x


Regla 6. Para una suma de funciones
Si f(x)= u(x) + v(x), su derivada es f´(x)= u´(x) + v´(x)
2
Ejemplo: f(x)= 3x + 4x, su derivada es f´(x)= 6x+4


7. Regla del producto
Esta regla es útil cuando se tiene una función formada de la multiplicación de polinomios,
3 4
Ejemplo: f(x)= (2x+3)(3x-5)
2 4 3 3
f´(x)=(6x )(3x-5) + (2x+3)(12x )


8. Regla del cociente
Esta regla es útil cuando se tiene una función formada de la división de polinomios, como
Si "u" y "v" son los polinomios 2
La función f(x)= u/v, Se deriva u´v - uv ´/v
3 4
Ejemplo: f(x)= 2x+3 / 3x-5
2 4 3 3 4 2
f´(x)= (6x )(3x-5) - (2x+3)(12x ) / (3x-5)


9.Regla de la cadena
Esta regla útil cuando se tiene una función formada por un polinomio elevado auna potencia
Si "u" es el polinomio
n n-1
La función: f (x) = u, Su derivada f´(x)= n(u) (u´)
3 5
Ejemplo: f(x)= (2x+3)
3 4 2
f´(x)= 5(2x+3) (6x )
2 3 4
f´(x)= 30x (2x+3)